• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Aksjomat Pascha

    Przeczytaj także...
    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Moritz Pasch (ur. 8 listopada 1843 roku we Wrocławiu, zm. 20 września 1930 roku w Bad Homburg w Niemczech) – niemiecki matematyk.
    Półpłaszczyzna – każda z dwóch części płaszczyzny, na jakie dzieli ją leżąca na niej prosta, wraz z tą prostą. Prosta ta jest wspólnym brzegiem wspomnianych półpłaszczyzn.
    Pasch's axiom.svg

    Aksjomat Pascha – aksjomat płaszczyzny euklidesowej nie dający się wyprowadzić z pięciu aksjomatów Euklidesa: Dane są na płaszczyźnie prosta i punkty i spoza takie, że odcinek przecina . Jeśli jest kolejnym punktem poza , to dokładnie jeden z odcinków lub przecina .

    Inna postać aksjomatu:

    Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.Prawo kontrapozycji (transpozycji) – równoważność implikacji prostej i przeciwstawnej, wynikająca z kwadratu logicznego twierdzeń:
    Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi.


    Aksjomat Pascha pozwala zdefiniować pojęcie półpłaszczyzny. W tym celu wprowadza się pojęcie leżenia dwóch punktów po jednej stronie prostej:

    Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.Zbiór wypukły – pojęcie geometryczne, podzbiór pewnej przestrzeni zawierający wraz dowolnymi dwoma jego punktami odcinek je łączący. Wspomniana przestrzeń może być euklidesowa, afiniczna, a nawet tylko liniowa (wektorowa); we wszystkich przypadkach wymaga się, by ciało skalarów było uporządkowane, zwykle jest to ciało liczb rzeczywistych, bądź liczb zespolonych.
    Punkty leżą po jednej stronie prostej , jeśli odcinek jest rozłączny z prostą

    Tak zdefiniowana relacja jest relacją równoważności, której zwrotność i symetria są trywialne, zaś przechodniość tej relacji jest kontrapozycją aksjomatu Pascha.

    Geometria euklidesowa – klasyczna odmiana geometrii opisana po raz pierwszy przez Euklidesa w dziele Elementy (z III w. p.n.e.). Zebrał on całą ówczesną wiedzę matematyczną znaną Grekom, dziś jego dzieło przedstawia się jako pierwszą znaną aksjomatyzację w historii matematyki. Pierwotnie uprawiano ją jedynie na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej wiążąc ją jednocześnie ze światem fizycznym, który miała opisywać, nie dopuszczając tym samym możliwości badania innych odmian geometrii.Jerzy Mioduszewski (ur. 25 grudnia 1927 w Ołtarzach) – polski matematyk specjalizujący się w topologii, w szczególności w teorii continuów oraz w historii matematyki.

    Dowodzi się, że dla relacji leżenia po jednej stronie prostej istnieją dokładnie dwie klasy abstrakcji. Każdą z nich nazywa się półpłaszczyzną wyznaczoną przez daną prostą. Oczywiście z definicji, każda z tych półpłaszczyzn jest zbiorem wypukłym.


    Aksjomat Pascha został sformułowany przez XIX-wiecznego matematyka Moritza Pascha w Vorlesungen übr neuere Geometrie, Lepizig 1882. David Hilbert w swojej aksjomatyce zalicza go do tzw. aksjomatów porządku.

    Aksjomatyka Hilberta - zestaw aksjomatów geometrii euklidesowej podany przez Davida Hilberta w roku 1899 w jego pracy Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii). System Hilberta jest podstawą większości współczesnych ujęć geometrii euklidesowej. Podana tu aksjomatyka nie pochodzi z oryginalnej pracy Hilberta (pierwotnie aksjomatów było 21), a z następnych jego prac i liczy 20 aksjomatów.David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie), zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) – matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.

    Uwagi

    1. tezę aksjomatu można sformułować w słabszej wersji: któryś z odcinków przecina .

    Bibliografia[]

  • Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994. ISSN 0239-6432.
  • International Standard Serial Number, ISSN czyli Międzynarodowy Znormalizowany Numer Wydawnictwa Ciągłego – ośmiocyfrowy niepowtarzalny identyfikator wydawnictw ciągłych tradycyjnych oraz elektronicznych. Jest on oparty na podobnej koncepcji jak identyfikator ISBN dla książek, ISAN dla materiałów audio-wideo. Niektóre publikacje wydawane w seriach mają przyporządkowany zarówno numer ISSN, jak i ISBN.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.023 sek.